А то есть HAndy Cache это "прокси у себя на жёстком диске"?
Да. Правильно это называется "локальный кэширующий прокси-сервер".
И никаких внешних прокси он не использует?
Не использует, если ты сам этого не захочешь. Будет ходить напрямую, как браузер.
Просто есть такой сервис Tcompressor(сжатие трафика)
HC - это не сжимающий сервис! У него нет своего сервера, через который идет весь трафик, как у TrafficCompressor-а.