Браузер на втором компе использует куки первого компа, а мне это не нужно.
Это невозможно в принципе! Куки у каждого браузера свои!
Возможно, в HC срабатывает какое-то правило из списка "Не обновлять", поэтому он выдает файл из кэша. Предположительно, это правило .* - отключи его.
Если не поможет, то смотри в Мониторе HC в колонке "Правила", что там срабатывает и принимай меры...